Zitat:

H2 und H3 wurden schon letzte woche im tutorium von dr. barche gelöst.
die kompletten lösungen jetzt hier zu posten wäre jedoch leider äußerst umständlich

okay. das könnte jetzt ein etwas längerer beitrag werden.

da doch so ziemlich an allen aufgaben interesse besteht, hab ich die fehlenden lösungen aus dem teil I der ersten klausur nun auch noch verschriftlicht und stelle sie hier allen downloadjägern bereit.

Zitat:

weil er mathematiker ist und eine möglichst elegante lösung haben will.
ich habe die tutoriumslösung nicht, nur meine eigene, und ich habe die determinante einfach mit sarrus berechnet. sehe bei dieser aufgabe auch gar nicht, was man durch umformungen vereinfachen kann.
bei vielen matrizen (in denen dann meist kein lambda mit drinsteht) kann vorheriges umformen durchaus von vorteil sein, weil man dadurch nullen erzeugt und so bei anwendung des entwicklungssatzes nur eine einzige unterdeterminante berechnen muß und nicht eine pro zeile (bzw. spalte), was ja doch sehr aufwendig werden kann.

Zitat:

wie gesagt hab ich die tutoriumslösung nicht, aber ich sollte hier vielleicht auf eine wichtige rechenregel für determinanten hinweisen.
das (2-lambda) wird ja nicht mit der matrix, sondern mit der determinante multipliziert, und hier gilt beim "wieder reinmultiplizieren", daß nur EINE zeile oder spalte damit multipliziert wird. welche, darf man sich übrigens aussuchen.
anders gesagt: wenn in jeder zeile der matrix ein vielfaches steht und ich das rausziehen will, dann muß ich diese zahl PRO ZEILE einmal vor die determinante schreiben.
beispiel: det(2 0, 0 2) = 2*det(1 0, 0 2) = 2*2*det(1 0, 0 1)
zu meiner schreibweise: da matrizen hier nicht so leicht darstellbar sind, mach ich ein komma an die stelle, wo die nächste zeile anfängt. ich hoffe, das ist nachvollziehbar...

Zitat:

also, "determinantenberechnung" besagt nichts anderes, als daß wir eine determinante berechnen.
der "laplacesche entwicklungssatz" ist EINE variante, um dies zu tun. eine andere variante wäre zum beispiel die sarrussche regel, welche aber nur für 3x3-matrizen anwendbar ist. somit ist ein vorteil des entwicklungssatzes, daß ich ihn immer anwenden kann, nachteil vielleicht, daß das unter umständen ziemlich komplex wird.

Zitat:

du meinst das gleichungssystem (A-lambda I) = 0, oder? in dem fall hast du völlig recht, bzw. fast.
die eigenvektoren (es gibt unendlich viele davon, also nicht "der eigenvektor") sind genau die nichttrivialen lösungen dieses gleichungssystems.

Zitat:

hier möchte ich auf die neue datei verweisen, denn das war genau die frage in aufgabe 7. mit fragen wie "wozu brauche ich das??" sollte man als nichtmathematiker lieber eher spärlich umgehen, denn meistens sind die antworten sehr tiefgründig mathematisch, und dann will man es eigentlich gar
nicht wissen. also einfach rechnen und an den ästhetischen formeln erfreuen!
im übrigen "brauchst" du die definitheit zum beispiel bei der bestimmung von lokalen minima und maxima, denn hier war die definitheit der hessematrix gerade das entscheidende kriterium.

Zitat:

oh, danke, da hast du völlig recht!
glücklicherweise kann ich versichern, daß das ein reiner tippfehler war, ich also durchaus mit der richtigen gleichung gerechnet habe und somit das in meiner lösung angegebene polynom trotzdem stimmt.
aber schön, daß mein geschriebenes so kritisch durchleuchtet wird.

Zitat:

glückwunsch, deine mathematische intuition ist nicht schlecht.
eine etwas genauere begründung ist in der angehängten datei zu finden.

Zitat:

oh ja, das kannst du!
besser hätte ichs auch nicht erklären können.

fazit also dieser ganzen Erzeugendensystem-Basis-Geschichte:
damit die gegebenen vektoren ein erzeugendensystem sein können, müssen es mindestens so viele sein wie die dimension des raumes.
damit sie linear unabhängig sein können, dürfen es nur höchstens so viele sein wie die dimension.
und wenn sie basis sein wollen, was ja ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist, müssen es logischerweise genausoviele vektoren sein wie die dimension des raumes.
eigentlich alles ziemlich schön...

und so etwa hats der coyote ja auch formuliert, in besonders kompakter schreibweise. find ich total genial!

noch kurz ein wort zur linearen hülle: das ist die menge aller linearkombinationen der gegebenen vektoren und als solche selbst ein vektorraum. anders gesagt: wenn die vektoren ein erzeugendensystem eines (unter-)vektorraums sind, dann ist dieser vektorraum die lineare hülle dieser vektoren.
am besten zweimal durchlesen, dann wirds klar!

Zitat:

die spur ist einfach bloß die summe aller diagonalelemente einer matrix. also zum beispiel:
spur(1 2, 3 4) = 1+4 = 5
ich denke jedenfalls, daß es da nichts anderes gibt. in welchem zusammenhang ist das denn in der vorlesung aufgetaucht?

Zitat:

aber mit dieser möglichkeit erfüllst du doch gar nicht die bedingung, daß insgesamt 50 vasen gekauft werden.
die aufgabe ist schon so gestellt, daß man zwar zunächst einen parameter frei wählen kann, dieser aber durch die zusatzbedingungen in (a) bzw. (b) eindeutig bestimmt wird. allerdings würde ich nicht zuviel zeit mit dieser aufgabe verbringen, da sie nach meinem geschmack doch etwas zu speziell ist und so nicht nochmal drankommen wird. meine meinung. ich garantiere natürlich für nichts.

Zitat:

das ist diesmal leider nicht ganz so korrekt. :öhm:

die notwendige bedingung ist okay.
für die hinreichende brauchen wir zunächst einmal nicht nur eine partielle zweite ableitung fxy, sondern alle vier, sprich die hessematrix, welche dann positiv definit sein muß. und außerdem muß, damit das ganze wirklich hinreichend ist, außerdem auch die sache mit den ersten partiellen
ableitungen erfüllt sein, die bereits notwendige bedingung ist. das muß hier nochmal explizit angegeben werden.
etwas genauer steht das alles auch in der angehängten datei erklärt.

in diesem sinne, frohes runterladen und weiterlernen!

ps: da ich schon eine weile am tippen bin, hab ich auf die aktuelleren beiträge noch nicht reagiert. da würde ich dann morgen was zu sagen.
aber das ergebnis der h2 kann ich schonmal bestätigen :correct:

Ich weiß ja, dass es mittlerweile ganz schön viel wird hier, aber ich hab da doch noch ne kleine Frage:
Wie entscheide ich denn was notwendige und hinreichende Bedingung ist? Was bedeutet notwendig und hinreichend eigentlich... vielleicht kann ja jemand mal ne kurze Erläuterung geben.

Vielen Dank!

merk dirs doch als hinweis,
haut z.B. bei G3 auch hin

eigenwerte sind 0,2,3 die spur ist 5...ist doch ne gute kontrolle

vielen dank für deine antworten sylvia! respekt vor solch einer ausdauer an dem beantworten von fragen. vielleicht solltest du lehrerin werden ??

ich denke das mit dem chat freitag nacht ist gar nicht so abwegig, da die klausur erst 14:00 uhr anfängt und man somit auch wenn man um 1 oder um 2 ins bett geht ausreichend schlaf haben müsste. .