Also,

1.Ableitung nach x: fx(x,y)=6*x+4*y-162
1.Ableitung nach y: fy(x,y)=4*x-112+4*y

2.Ableitung nach x und nochmal x: fxx(x,y)=6
2.Ableitung nach x und dann y: fxy(x,y)=4
2.Ableitung nach y und nochmal y: fyy(x,y)=4
2.Ableitung nach y und x: fyx(x,y)=4

Ich hoffe das hilft...

da fällt mir grad ein was machen wir eigentlich wenn so ne nette matrix net symmetrisch ist und wir über sylvester die eigenwerte nicht bestimmen können?

so, hier noch etwas ausführlichere lösungen der aufgaben 6 und 7 aus der zweiten fritzscheklausur.

außerdem muß ich unbedingt drauf hinweisen, daß ich bei der 9(b) eine kleinigkeit nicht beachtet habe. ich hatte mit dem rangsatz versucht, determinante 0 für BB^T und B^TB zu begründen. das funktioniert aber nur für BB^T, da das andere eine 2x2-matrix ist. für die gilt det(BB^T)=2.

so, mal schaun, wieviele das bedürfnis haben, noch nachts vor der klausur mathe zu machen bzw. zu chatten. ich könnts verstehen, wenn jemand ruhe und schlaf vorzieht. ich selbst kann ja morgen den ganzen tag schlafen.

auf alle fälle drück ich allen die daumen und wünsch euch ganz viel erfolg bei der bewältigung der klausur!

sylvia

Hallo,

ich hab grad nochmal 2-3 Fragen:

hat ein Vektor eine Dimension (vielleicht 1?)?
ist die Dimension einer nxm Matrix immer n*m?
wie lautet das Untervektorraum-Kriterium und was bedeutet es dann?

Danke für die Mühe...

MfG

Hey, ich hab da noch alles zusammengefasst, was man so wissen musst!!!

Lineare Hülle

1. Wenn die Vektoren aus dem Vektorraum als Linearkombination ausgedrückt werden können, nennt man sie lineare Hülle, welches auch Untervektorraum ist.
Spielt es da ne Rolle, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhänigig sind??

Die Linearkombinationen von Vektoren sind ja gerade diejenigen Vektoren, welche von ihnen linear abhängig sind.
Die Frage nach linearer Unabhängigkeit ist bei der linearen Hülle insofern wichtig, als man versucht, diese Hülle mit möglichst wenigen Vektoren darzustellen. Wenn du z.B. Vektoren v1,v2,v3 gegeben hast, wobei v3 eine Linearkombination (also linear abhängig) von v1 und v2 ist, dann sollte man, wenn die lineare Hülle der drei gesucht ist, als Antwort nur L(v1,v2) angeben, und nicht L(v1,v2,v3) - obwohl es im Prinzip genau dieselbe Menge ist.

------> nur die lineare unabhängige Vektoren werden für die Lineare gebraucht, d. h. wenn eine Menge von Vektoren angegeben sind. Diese nach der Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit prüfen. Die unabhängige Vektoren "auswählen" und diese in deine Hülle einsetzen.

Von Coyote geschrieben:

Erzeugendensystem:
für ein ES benötigt man mindestens so viele voneinander unabhängige vektoren, wie die dimension des raumes ist, den man erzeugen möchte.
also zB für den R2 (ebene) sind zwei notwendig, mit diesen beiden vektoren kann man ja durch linearkombination jeden punkt im R2 (also in der ebene) erreichen bzw erzeugen.
allerdings sind auch drei vektoren (oder vier, oder fünf, oder tausend ) im R2 ein ES, nur eben keine Basis, da ja einer der drei vektoren lin. abh. von den anderen sein muß (gilt immer).
analog für den R3 : da sind eben mind. drei vektoren notwendig, um den raum zu erzeugen.
usw.

Basis:
die Basis ist eben nun das minimalste ES, sprich eine kombination von lin. unabh. vektoren.
es darf also kein vektor (entsprechend der dimension des raumes) "zuviel" vorhanden sein.
besagte drei vektoren im R2 können keine Basis sein, wohlgleich sie aber ES sein können, falls eben zwei unabhängige dabei sind.
und wieder analog für R3 usw.

Die Antwort von der Nachhilfelehrerin:

Erzeugendes System:

Dieser ganzen Erzeugendensystem-Basis-Geschichte:
damit die gegebenen vektoren ein erzeugendensystem sein können, müssen es mindestens so viele sein wie die dimension des raumes.
damit sie linear unabhängig sein können, dürfen es nur höchstens so viele sein wie die dimension.
und wenn sie basis sein wollen, was ja ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist, müssen es logischerweise genausoviele vektoren sein wie die dimension des raumes.
eigentlich alles ziemlich schön...

und so etwa hats der coyote ja auch formuliert, in besonders kompakter schreibweise. find ich total genial!

Lineare Hülle

noch kurz ein wort zur linearen hülle: das ist die menge aller linearkombinationen der gegebenen vektoren und als solche selbst ein vektorraum. anders gesagt: wenn die vektoren ein erzeugendensystem eines (unter-)vektorraums sind, dann ist dieser vektorraum die lineare hülle dieser vektoren.
am besten zweimal durchlesen, dann wirds klar!
__________________________________________________________________________

Determinante:

Bei Aufgabe G3 verstehe ich nicht, wieso er den LAPLACEscher Entwicklungssatz nicht sofort eingesetzt hat bzw. wieso muss er umformen?

weil er mathematiker ist und eine möglichst elegante lösung haben will.
ich habe die tutoriumslösung nicht, nur meine eigene, und ich habe die determinante einfach mit sarrus berechnet. sehe bei dieser aufgabe auch gar nicht, was man durch umformungen vereinfachen kann.
bei vielen matrizen (in denen dann meist kein lambda mit drinsteht) kann vorheriges umformen durchaus von vorteil sein, weil man dadurch nullen erzeugt und so bei anwendung des entwicklungssatzes nur eine einzige unterdeterminante berechnen muß und nicht eine pro zeile (bzw. spalte), was ja doch sehr aufwendig werden kann.

----> es exisitiert mehrere Möglichkeiten die Determinante zu berechnen. z. B. Sarrus oder Laplaces Entwicklungssatz. Ich tendiere mehr auf den Entwicklungssatz, da man am Ende nicht so viele krasse Terme hat wie es bei Sarrus der Fall. Viele krasse Terme-----> viel Fehler. Bei dem Entwicklungsatz müsst ihre zu sehen, dass ihre möglichst eine Reihe oder eine Spalte viele Nullen besitzt und dort dann entwickelt---->die Nullen sorgen dafür für eine Verkürzung der Terme. Näheres Übung G3.
Die Formeln sieht zwar voll heftig aus, ist aber eigentlich mit bißchen Übung voll easy. Achtet drauf bei der Umformung, dass der WERT der Determinante sich nicht ändert. Eine falsche Umformung und ihr habt am Ende ein FALSCHES ERGEBNIS. Es existiert spezielle Regeln, die speziell nur für die Determinante gilt. Regeln der Matrix und Regeln der Determinante sind NICHT gleich. Achtet besonders auf Regeln wie man bei Determinatenmultiplikation bzw. ausklammern z. B. Übung G3.
Die Determinatenberechnung ist insofern wichtig, z.b. wenn det A ungleich null ist. Dass wir dann wissen, dass sie Regulär ist und es treten ganze 7 Eigenschaften auf. Gleiches gilt für singulär det=0

Beispiele, wo die Determinanteberechnung gebraucht wird!

Diese 7 Eigenschaften gelten nur für quadratische Matrizen!!!

Vorsichtig: Bei Aufgabenstellung, wo drauf steht. Berechnen Sie die Inverse!! Dann die Inverse wirklich berechnen. Ihr wisst ja wohl. Diese komische Tabelle. siehe Übung F4.
Bei Augaben untersuchen sie, ob es eine Inverse existiert. Determinante der Matrix berechnen!!!!
Anderes Beispiel: Übung E1C. Um den Rang zu bestimmen. Die Matrix, die ist regulär, weil Det A ist ungleich NULL. Deswegen besitzt er den vollen Rang bzw. Rang der Matrix ist gleich der grösse der Dimension.

DEFINTHEIT

Was bedeutet definitheit und wozu brauche ich das??

Du brauchst die definitheit zum beispiel bei der bestimmung von lokalen minima und maxima, denn hier war die definitheit der hessematrix gerade das entscheidende kriterium.
-
---> Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher

SPUR DER MATRIX

Wurde in der Vorlesung nicht erwähnt, aber in der Übung von DR. Barche:

Wenn du vielleicht in diesem Zusammenhang noch erklärst, was es mit der "Spur" einer Matrix auf sich hat?

die spur ist einfach bloß die summe aller diagonalelemente einer matrix. also zum beispiel:
spur(1 2, 3 4) = 1+4 = 5

Das Produkt der Eigenwerte einer Matrix (Determinatenbestimmung)=die Summe dieser Eigenwerte (auch die Spur).-----> Soszusagen kann diese als Probe benutzen.

Z.B. .bei G3

eigenwerte sind 0,2,3 die spur ist 5...---->ne gute kontrolle

Hauptminoren

Was sind Hauptminoren?

Hauptminoren sind Hauptunterdeterminanten, das heißt die determinanten derjenigen teilmatrizen von A, die links oben beginnen und quadratisch sind. eben jene, die du für die definitheit nach sylvester zu untersuchen hast.------> Ihr wisst ja wohl, die eingegrenzten Unterdeterminante( Verfahren von Sylvester)

Untervektorraum

Untervektorraum

Ich verstehe nicht wieso in der zweiten Fritsche Klausur ständig der Nullvektor beinhalten sein muss bei 3b oder 3c?, wenn es dann doch ein UVR wäre.

Das UVR-Kriterium geht ja nicht von einem Nullvektor aus? oder irre ich mich??

die idee ist folgende:
wenn die gegebene menge ein untervektorraum ist, dann versuchen wir das mit dem untervektorraumkriterium zu beweisen und müssen uns nicht um den nullvektor kümmern.
wollen wir dagegen nachweisen, daß die menge kein untervektorraum ist, dann machen wir das i.a. nicht mit dem uvr-kriterium, sondern es reicht, ein gegenbeispiel zu finden. und meistens (nicht immer) funktioniert das am besten, indem wir zeigen, daß der nullvektor nicht drin ist.
will heißen, es ist immer gut, beim blick auf die menge schon zu "sehen", ob das ein untervektorraum ist, um das dann entsprechend nachzuweisen oder zu widerlegen.

Bestimmung von ES
1. Chekk nach wie hoch der Ausmaß der Dimension ist, so viele unabhängige Vektoren braucht ihr um ein ERZEUGENDES SYSTEM zu erzeugen und es gibt nur so viele maximale unabhängige Vektoren in diesem System!!!
----> bei R^n=> Ich brauche dann n unabhängige Vektoren! Wenn ich zahle einsetze, bei R^3 ---> ich brauche 3 unabhängige Vektoren um ein ES bilden zu können!!!!!!

2. Prüfe nach, welche der vorgegebene Vektoren linear abhängig und welche unabhänig sind.
a.) Hast du zu wenige unabhängige Vektoren, d.h. unabhängige Vektoren < n
mit zahlen eingesetzt: bei R^n, unabhängige Vektoren <3 R^3
------> kein ES
b.) Ist die Anzahl der unabhängige Vektoren gleich der Ausmaß der Dimension, d.h. unabh. Vekt. = n bei R^n,
mit zahlen eingesetzt unabh Vekt.=3 bei R^3,
---> ES UND BASIS -----> deine Basis ist immer dein minimalstes ES!!! Quasi hast du eine Basis, hast du automatisch auch ein ES!!

c.) Du hast n unabhängige Vektoren und zusätzlich abhängige Vektoren, d. h. unabh Vekt.=n bei R^n bildet ein ES, da aber alle Vektoren insgesamt sind abhängig, keine Basis!!!
Mit zahlen eingesetzt: unabhängie Vektoren=3 bei R^3 bildet ein ES, da aber alle Vektoren(es sind in diesem mehr als 3 Vektoren vorgeben) insgesamt abhängig sind, keine Basis!!!!

Bestimmung von Basis

1. Du hast eine Basis, wenn
a.) alle Vektoren insgesamt lin unabhängig sind
b.) und die vektoren bilden ein ES

Fazit: Bei der Bestimmung von ES einzelne unabhängige vektoren finden, die ES zeugen könnten!!!
Bei der Bestimmung von Basis alle Vektoren nach lineare Unabhängigkeit prüfen!!!

Ich wünsche Euch viel Erfolg!!!