Inhaltsverzeichnis 1 Lie-Gruppen 1 1.1 Lineare Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Homomorphismen von linearen Lie-Gruppen und Lie-Algebren . . 21 1.4 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 Lie-Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Aufl¨osbare, nilpotente und halbeinfache Lie-Algebren 45 2.1 Aufl¨osbare und nilpotente Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Die S¨atze von Lie und Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Die Killing-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 Das Kriterium von Cartan f ¨ur Aufl¨osbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5 Halbeinfache Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6 Das Kriterium von Cartan f ¨ur Halbeinfachheit . . . . . . . . . . . . 64 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Lie-Algebra-Kohomologie und Levi-Zerlegung 71 3.1 Derivationen einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Erweiterungen von Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 Die Lemmata von Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Struktur der komplexen halbeinfachen Lie-Algebren 87 4.1 Die klassischen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Gewichtszerlegungen von Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Cartan-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . 102 4.5 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.6 Die irreduziblen Darstellungen von sl2(C) . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7 Die Wurzelzerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . 113 4.8 Darstellungen kompakter Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5 Wurzelsysteme 119 5.1 Wurzelsysteme und Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Wurzelsysteme von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . 121 5.3 Basen von Wurzelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4 Cartan-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Die Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6 Coxeter-Graphen und Dynkin-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 137 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6 Klassifikation komplexer einfacher Lie-Algebren 141 6.1 Borel-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Weyl-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3 Die Haupts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Die Lie-Algebra g2 147 7.1 Die Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.2 Die Derivationsalgebra der Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A Topologische Grundbegriffe 159 4.4 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . 102 4.5 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.6 Die irreduziblen Darstellungen von sl2(C) . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7 Die Wurzelzerlegung einer halbeinfachen Lie-Algebra . . . . . . . . 113 4.8 Darstellungen kompakter Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5 Wurzelsysteme 119 5.1 Wurzelsysteme und Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Wurzelsysteme von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . 121 5.3 Basen von Wurzelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4 Cartan-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Die Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6 Coxeter-Graphen und Dynkin-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 137 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6 Klassifikation komplexer einfacher Lie-Algebren 141 6.1 Borel-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2 Weyl-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3 Die Haupts¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Die Lie-Algebra g2 147 7.1 Die Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.2 Die Derivationsalgebra der Cayley-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3 g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A Topologische Grundbegriffe 159

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